DERIVADAS

     La derivada es una función que nos da una idea de la rapidez con que varía una función con respecto a otra. También puede interpretarse geométricamente al poderse representar gráficamente mediante el conjunto de tangentes asociados a los diferentes valores de la función y=f(x).

     Al igual que la integral, su concepto se basa en el concepto de límite.

     Si cogemos una función f(x) y unimos 2 de sus puntos a través de una recta, veremos que sobre estos hay una separación h sobre el eje OX. Si vamos aproximando esos 2 puntos de tal forma que cada vez estén más cerca, es decir, hacemos que h tienda a 0, dicha recta secante, será una recta tangente, obteniendo la derivada de dicha función.

     Si la derivada de f existe en todos los puntos de x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en cada punto de x es la derivada de f en x.

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INTEGRALES

     La integral es la aproximación del área subtendida de una función sobre unos ejes espaciales que tomamos como referencia. Dicha aproximaciòn se realiza mediante la suma de multitud de elementos infinitesimales que se encuentran dentro bajo el área del dominio de la función.

Integral de Riemann

     El objetivo es conocer el área que abarca la función.

     

     Antiderivada

     La integral también podemos denominarla la antiderivada, por ser la operación inversa a la derivación.

    He aquí la demostración.

     Supongamos que tenemos una función y=f(x), el conjunto de todos los cachitos de x para los que y toma un valor, subtiende un área, que sumada a los infinitésimos cachitos de x nos da el área A(x). Tomando el mismo concepto que hemos tomado para explicar la integral, obtenemos el cachito de rectángulo que viene rallado en rojo, teniendo como base un valor h, y como altura un valor y=f(x).

      Podemos decir entonces que A(x + h) - A(x) es parecido a f(x)*h. Esta aproximación será más acertada cuanto menor sea el valor de h, llegando a concertirse en igualdad cuando h es 0.

     Si hacemos el límite de la función cuando h tiende a 0 el miembro derecho de la ecuación es la derivada A´(x) de la función A(x) y el miembro izquierdo se queda en f(x) al no estar h presente. Nos queda entonces que f(x)=A´(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es la función f(x)

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COORDENADAS EN EL SISTEMA ESPACIAL REAL

     La funciones que utilizamos en matemáticas y en aplicaciones como la ingeniería, están formadas por números. Estos números pueden ser reales o complejos. Aquí nos vamos a centrar en lo que atañe a la parte real.
     Dichos números se representan en un sistema espacial por tener el conjunto de los números reales una estructura de espacio vectorial. Esto da lugar a las funciones de variable real, las cuales están representadas sobre unas coordenadas espaciales que habitualmente son las cartesianas. Sin embargo, existen otros tipos de coordenadas que veremos a continuación.
   
     Coordenadas polares
     Cada punto se representa mediante su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje x.

     Para hacer la equivalencia entre coordenadas polares y cartesianas, simplemente habría que proyectar OP sobre los ejes x e y, que no es más aplicar trigonometría. El eje OX pasa a denominarse eje polar.

     Coordenadas esféricas

     Es la forma equivalente de coordenadas polares solo que representadas en un espacio tridimensional.

     Ahora representamos la distancia de un punto con respecto al origen y los ángulos que está desplazado con respecto al eje OX y al plano XY.

     Por tanto, para hacer la equivalencia entre coordenadas esféricas y cartesianas, tenemos que hacer lo mismo que en el proceso anterior. Aplicando trigonometría, la distancia OA se proyectaría sobre el plano XY y el eje z, después la línea contenida en el plano XY se proyecta sobre los ejes OX y OY.

     He tomado estas 2 imágenes porque el ángulo theta se puede tomar con distintas referencias, aunque la más habitual es la segunda. De todas formas, el concepto es el mismo para ambos casos.

     Coordenadas cilíndricas

     Imaginad que cortamos una sección transversal de un cilindro, es decir, 2 dimensiones, que es equivalente al caso de las coordenadas polares, pues a esto le añadís la altura propia de un cilindro imaginario y ya tenéis las coordenadas cilíndricas.

     Por tanto, la equivalencia entre coordenadas cilíndricas y cartesianas sería; para el eje OZ, la altura del cilindro; para los ejes OX y OY justo igual que en las coordenadas polares.

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