MOMENTOS DE INERCIA

     MOMENTO DE INERCIA MÁSICO
     Al igual que hablamos de la inercia asociada a los cuerpos en movimiento, por ejemplo, cuando un coche va a tomar una curva, hablamos de momento de inercia cuando nos referimos al momento asociado a la inercia de rotación de los cuerpos.

     Vamos a poner el ejemplo de una bailarina que está dando vueltas alrededor de sí misma, en cuando cambie la velocidad con la que está girando, aparecerá una fuerza de inercia rotacional (proporcional a los cambios que se han producido en el sistema), dichas fuerzas de rotación aparecerán sobre cada cachito del cuerpo de la bailarina, que multiplicadas por la distancia al eje de giro nos darán el momento de inercia de la bailarina. Podemos deducir fácilmente que dicho momento será mayor cuando la bailarina si extiende los brazos, girando más rápidamente si los contrae.

     El momento de inercia viene representado por la letra I.
     .
 
     Cálculo del momento de inercia
     Vamos a suponer un cuerpo formado por un sistema de partículas y un eje arbitrario de giro, el momento de inercia será la masa de cada partícula multiplicado por el cuadrado de la distancia que lo separa del eje.
Integrando dicho sistema de partículas obtenemos la expresión general de inercia.

     Al igual que la masa es la resistencia que ofrece un cuerpo a ser acelerado en un movimiento de traslación, el momento de inercia de un cuerpo indica la resistencia que ofrece el cuerpo a adquirir aceleración angular.
     Por tanto, podemos poner esta expresión análoga a la segunda ley de Newton.

     Es decir, el momento aplicado al cuerpo, será igual al momento de inercia del cuerpo por la aceleración angular.
     También, por la misma razón, se produce la misma analogía con respecto a la ecuación de la energía cinética.

     La conservación de la cantidad de movimiento tendrá como equivalente la conservación del momento angular.

      Donde el vector L representa el momento angular. La dirección del momento angular no suele coincidir con la dirección de la velocidad angular, esto ocurre solo si el eje de giro del momento de inercia se corresponde con un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría, entonces será eje principal de inercia.

     Teorema de Steiner
     Este teorema nos dice que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pase por el centro de gravedad, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa multiplicado por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.

     Siendo la demostración de este teorema

     El segundo término se anula porque la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

     El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, ya que el centro de masa solo depende de la geometría del cuerpo, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitacional en que está inmerso el cuerpo.

     MOMENTO DE INERCIA DE SEGUNDO ORDEN
     También llamado momento de inercia de área, se trata de una propiedad geométrica de la sección transversal de los cuerpos, y está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento a flexión.
     Viene representado por esta ecuación.

     Dado que solemos trabajar con coordenadas cartesianas, este concepto lo vamos a reestructurar de otra forma.

     La tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple vendrá dada por la expresión.

     Si los ejes de inercia coinciden con los principales, la expresión se nos simplifica. Los ejes de inercia serán principales si I_xy = 0, ya que una de las variables "x" o "y" valdrá 0.

     Teorema de Steiner

     Es análogo al descrito para los momentos de inercia másicos, teniendo como ecuación.

     Momento de inercia respecto a unos ejes x´ y´ girados un ángulo fi  respecto de x e y conocido

     Momento de inercia de figuras planas

     A continuación les dejo los momentos de inercia correspondientes a figuras planas comunes.

     Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a dos ejes paralelos a los lados del mismo (el eje X perpendicular al lado h y el eje Y perpendicular al lado b) y que pasan por su centro de gravedad:

     Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad:

     Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los catetos del mismo, pasan por su centro de gravedad:

     Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:

     Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano):

     Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad:

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